. ${𝑒}^{𝜋𝑖}=-1$

首先从数字开始，人类最开始将数字简单地视作计数工具，但是随着数学的发展，出现了分数$4.2$，无理数$𝜋$甚至是虚数$\sqrt{-1}$：

你觉得当你仍用计数工具去看待这些数时，直观嘛？

显然，这很不直观．

我们不妨以下面的视角来看待每一个数字和运算：

无限延伸的直线上的任何一个点，都可以被数字表示．

• 我们规定一个点为零点称作$0$，一个非零点为$1$，也可以称为一个单位．
• 对于任何一个数字$𝑛$，它在直线上的位置就是从$0$到那里的长度为$𝑛$个$1$．
• 对于任何一个负数$𝑛$，它都在零点的左侧；而正数则在零点右侧．

使这条直线沿自身滑动的动作，我们称为加法

• 对一个数字$𝑥$使用加法$𝑦$，就是从$𝑥$开始滑动$𝑦$个单位到达$𝑧$．
• 对于任何一个负数$𝑦$，向零点的左边滑动，反之则右边．
• 定义$𝑧-𝑦=𝑧+\left(-𝑦\right)=𝑥$，于是我们得到了减法．

使这条直线沿自身缩放的动作，我们称为乘法．

• 对一个数字$𝑥$使用乘法$𝑦$，就是固定零点，并将对应于$1$的点移动到与乘数本身相对应的点，同时保证所有点之间的间距均匀，原先$𝑥$的位置变为结果$𝑧$．
• 对于任何一个负数$𝑦$，就是执行完上面的动作后，再将结果$𝑧$按零点对称到另一边．
• 定义$𝑧÷𝑦=𝑧\ast \left(\frac{1}{𝑦}\right)=𝑥$，于是我们得到了除法和分数．

取$𝑥>0$：把“乘以$𝑥$”看成一次固定零点的缩放，那么${𝑥}^{𝑦}$就是从$1$出发，连续做$𝑦$次这种缩放后到达的位置．

• 当$𝑦=0$时，就是一次也不缩放．从$1$出发，什么都不做，当然仍在$1$，所以${𝑥}^0=1$．
• 当$𝑦$为负整数时，就是把缩放倒着做．例如，“乘以$2$”会把距离放大一倍，它的逆动作就是“乘以$\frac{1}{2}$”．因此$2^{-3}$表示从$1$开始，连续缩小三次，依次到达$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{8}$．一般地，${𝑥}^{-𝑛}=\frac{1}{{𝑥}^{𝑛}}$．
• 当$𝑦=\frac{1}{2}$时，我们需要找到“半次缩放”：连续做两次完全相同的动作，效果恰好等于乘以$𝑥$．例如，从$1$到$9$，可以先乘以$3$到达$3$，再乘以$3$到达$9$，所以$9^{\frac{1}{2}}=3$．
• 同理，${𝑥}^{\frac{1}{𝑛}}$就是把“乘以$𝑥$”拆成$𝑛$次相同的正比例缩放，每次的倍率就是$\sqrt[𝑛]{𝑥}$．因此，对于正整数$𝑚$、$𝑛$，${𝑥}^{\frac{𝑚}{𝑛}}={\left(\sqrt[𝑛]{𝑥}\right)}^{𝑚}$：先找到这一个“小步”，再连续走$𝑚$步．如果指数还带负号，就反着走，例如$9^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$．
• 这些扩展都遵守同一个原则：先做一段缩放，再做另一段缩放，等于把两段指数相加，也就是${𝑥}^{𝑎}\ast {𝑥}^{𝑏}={𝑥}^{𝑎+𝑏}$．于是，零次、负数次和分数次乘方，就可以统一为同一套缩放规则的延伸．

对于任何无理数，我们都能在直线上找到与其对应的一点．

例如$𝜋$，我们将定义为：${𝐶}_{𝑟=1}=2𝜋$ 也就是说，半径为1的圆，其周长的一半．

嘿，我们已经可以在这条直线上表达所有实数，以及$+$，$-$，$\ast$，$÷$，$\text{^}$了！

？！圆！？

我们在此之前都在一条一维的直线上玩，现在圆却是个二维图形，有什么办法构造它呢？

我们不妨将现有的直线在零点处转动$90°$，这样我们就有两条轴，可以表达二维世界中的东东了！

如果将原先那条轴看作横着的话，那我们又如何在竖着的方向上进行移动和缩放呢？

让我们定义吧！

将竖着方向的一个单位定义为$𝑖$，于是加法$𝑛𝑖$就是很直观地上下移动．

对于乘法，当我们定义：乘以$𝑖$让两个轴所构成的平面旋转四分之一圈，于是连续乘以两次$𝑖$，也就是$\ast {𝑖}^2$，会让平面旋转旋转半圈，也就是．．．$\ast -1$！

所以当我们如此定义$𝑖$时，会很自然地推导出：${𝑖}^2=-1$，也就是说，$𝑖=\sqrt{-1}$！

未完待续．．．