Example.
Berry 悖论
Example. Berry 悖论
下面是 Berry 悖论的一个汉语版本.
考虑这个短语:“不能用少于二十个字来定义的最小正整数”.
先固定一套包含这些字的有限字符表,以字符数计长, 并假定每个有效描述至多定义一个正整数. 少于二十个字的字符串只有有限多个,所以它们至多定义有限多个正整数; 这些短字符串未能定义的正整数中必有最小者,记为 . 若上面这个十八字短语也是同一描述语言中的有效描述, 并且这里的“定义”仍能无条件地适用于包含它自身的全部描述,它又恰好定义了 . 于是 既能又不能用少于二十个字定义,矛盾.
计数本身没有要求先把这个短语排除. 需要检查的是:描述语言与判定“哪个表达式定义哪个数”的语义条件有没有固定, 以及这个语义概念能否在同一层次无限制地涵盖自身. 把描述语言与谈论其语义的元语言分开,可以避免这种混用(当然,自指本身未必都会引起矛盾).