词项的集合 有一条存在性前提： 满足那三条封闭条件的集合中真的有最小的． 先固定背景集合 $𝑈$，包含节点标签取自 $\text{true}$、$\text{false}$、$0$、$\text{succ}$、$\text{pred}$、$\text{iszero}$、$\text{if}$ 的所有有限有序树（暂不限制每个标签的孩子数量）． $𝑈$ 本身满足三条封闭条件，因此满足条件的 $𝑈$ 的子集至少有一个， 下面对这族子集取交集时不会遇到空集族．

把所有满足封闭条件的 $𝑈$ 的子集取交集，记为 $𝐼$． 由于每个集合都含 $\text{true}$、$\text{false}$、$0$，$𝐼$ 也含这三个常量； 若 ${𝑡}_1\in 𝐼$，则 ${𝑡}_1$ 在每个集合里，而每个集合都对三个一元构造封闭， 故 $\text{succ }{𝑡}_1$、$\text{pred }{𝑡}_1$、$\text{iszero }{𝑡}_1$ 也在每个集合里，从而属于 $𝐼$； 同理，若 ${𝑡}_1,{𝑡}_2,{𝑡}_3\in 𝐼$，每个集合对 $\text{if}$ 构造的封闭性保证 $\text{if }{𝑡}_1\text{ then }{𝑡}_2\text{ else }{𝑡}_3$ 也在交集 $𝐼$ 里．

因此 $𝐼$ 满足全部封闭条件，而且按交集的定义，它包含在每个满足条件的集合里． 交集直接给出了所需的最小集合 花体(T)．