取 词项的集合 中的有限项， 树的术语见 树的基本术语 ， 归纳方法采用 结构归纳原理 ．

取 $𝑃\left(𝑡\right)$ 为“$𝑡$ 至少含有一个叶子”．常量本身就是叶子，基准情况成立． 证明 $𝑃\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)$ 时， 归纳假设 $𝑃\left({𝑡}_1\right)$ 给出 ${𝑡}_1$ 中有一个叶子； 加上 $\text{pred}$ 根以后，那个叶子仍然存在． 证明 $𝑃\left(\text{if }{𝑡}_1\text{ then }{𝑡}_2\text{ else }{𝑡}_3\right)$ 时，任取某个孩子中的叶子即可． 对于 $\text{pred }\left(\text{succ }0\right)$，先验证 $𝑃\left(0\right)$，再推出 $𝑃\left(\text{succ }0\right)$， 最后推出整项的性质，没有一步用到尚未证明的结论．

反过来，试图证明错误命题 $𝑄\left(𝑡\right)$：“$𝑡$ 不含 $\text{pred}$”， 然后在 $\text{pred }{𝑡}_1$ 的情形里说“假定 $𝑄\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)$，所以它不含 $\text{pred}$”， 就是循环论证：用待证结论本身支持待证结论． 它至多证明了 $𝑄\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)⟹𝑄\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)$， 没有证明归纳步骤要求的 $𝑄\left({𝑡}_1\right)⟹𝑄\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)$． 实际取 ${𝑡}_1=0$，前者 $𝑄\left(0\right)$ 为真，后者 $𝑄\left(\text{pred }0\right)$ 为假，反例立刻出现．

循环也可以藏在两步里： “为了证明父项满足 $𝑃$，先用父项满足 $𝑃$ 来证明子项满足 $𝑃$，再由子项推出父项”． 两句话合起来仍然没有独立的起点．